架空数の世界を探索する
🧮 イントロダクション
方程式のグラフ上で架空数の倍数を見たことがありますか？例えば、方程式xの二乗-1=0の解は、プラスまたはマイナス1であり、どちらも実数の倍数です。そして、この部分のグラフはそれに対応しています。では、それを変えてxの二乗+1=0としたらどうでしょう？この方程式を満たすXは存在しないので、私は答えを買いませんでした。しかし、もしグラフ上のどこにこの架空数の周期が存在するのかを探求するなら、どうでしょう？実際には、現時点では架空数の周期は見えませんが、四次元空間には確かに存在しています。
🧮 ミステリーラボの本
架空数の周期が可視化された世界を取り除いてみましょう。ミスターバード、あなたは何をそんなに熱心に読んでいるのですか？それは数学を使って「はい、これやあれは証明できる」と言っている本です。数学は面白くないと思いませんか？ふふ、それがあなたに読んでほしい本の種類です。だから私はミステリーラボから本を出すことに決めました。それは、一筆書きで書けるための必要十分条件、4次元ポケット、どこでもドアの仕組みなど、ビデオでカバーされた内容を更新し、新しい内容も含んでいます。20のテーマを投稿しました。テキストとイラストはすべて手作りで完全にオリジナルです。現在、Amazonなどで予約受付中です。
🧮 方程式xの二乗-2x+2=0の解
楽しんでいる最中に、今日学校でこの宿題を与えられました。うーん、方程式xの二乗-2x+2=0の解を見つけなさいと言われました。先生もちょっと意地悪ですね。この方程式をどう解けばいいのでしょうか？因数分解できるようには見えないし、実際にはこの方程式を満たすxの値は存在しません。答えは何もありません。もし複素数の範囲まで広げれば、解の数を導くことができます。
🧮 架空数のグラフの特徴
その問題に答える前に、方程式のグループをまず見直しましょう。例えば、xの二乗-5x+6=0。解はいくつありますか？まず、命令を整理しなければなりません。さて、因数分解すると、x-2×x-3になりますね。解はX=2とX=3です。こんな感じです。次に、これらの2つの解をグラフを使って確認しましょう。関数y=xの二乗-5x+6を考えると、グラフはこのようになります。このグラフとX軸の交点として交差点が現れることが分かります。このようなグラフを作ることで、二次方程式の解の位置を具体的に視覚化することができます。
🧮 四次元空間
方程式xの二乗-2x+2=0について考えてみましょう。同じように関数を考え、グラフを描いてみます。グラフとX軸は交差しませんね？これが買わないという真の意味です。交差点はグラフとY=0の交差点です。これが架空数の周期と呼ばれます。グラフとX軸が交差しないのに買わないというのは奇妙ではありませんか？その通りです。架空数の周期について初めて学んだ時、私は何となく疑問を感じました。この関数について考えたことがある人は多いと思いますが、どう考えてもYは0にならないように思えます。それなのにY=0の方程式の解を見つけなければならないというのは奇妙であり、さらに言えば、先ほどお見せした実数と同じようになってしまいます。架空数の倍数を描こうとしても、こう続けば架空数の倍数がどこにあるのか分かりません。答えを無理に求めようとすると、奇妙なものになってしまいます。架空数の倍数は実際には存在しません。やっているように感じるかもしれませんが、実際にはこれは仕事であり、XY平面上のすべての点は実数ですので、架空数の倍数を描くことはできません。
🧮 複素数
1+iや1-iなど、実数と架空数の組み合わせである数を複素数と呼びます。実数が並んでいる実軸に対して垂直な架空軸を描くことで作られる平面を複素数平面と呼びます。したがって、1+iは、実数の方向と1の架空数の方向が一致する点として表現することができます。1-iも同じように示すことができます。数を考えるとき、私たちはそれらが直線上に並んでいるイメージを持っていますが、複素数は平面的です。架空数を見つけることは、この複素数の範囲までxの範囲を広げ、Y=0となるxを見つけることを意味します。これは難しいです。
🧮 架空数のグラフ
しかし、この場合、非常に厄介な問題に直面しています。Yが常に実数になるための必要条件は何でしょうか？黄色の部分は実数を表し、水色の部分は架空数を表しています。つまり、Yが実数になるためには、水色の部分を行わなければならないということでしょうか？おそらく2abが0である必要があります。言い換えれば、Yが実数になるためには、AまたはBの少なくとも1つが0である必要があります。つまり、A=0またはB=0です。それが0の平面上の点である場合、Yは常に実数です。A=0およびB=0は直線ではなく平面です。そうですね、これまで扱ってきた二次元のグラフでは、=0は直線を表しますが、三次元のグラフでは、A=0は図の平面部分である平面上で、いたるところでaの値が0であることを意味します。
🧮 結論
拡張されたグラフは最終的には四次元空間に存在することになります。グラフとX軸が交差しないように見えたのは、私たちがb=0の平面だけを見ていたからであり、3D空間では、それらはb=0の平面と交差していました。Xを複素数の範囲に拡張することで、今まで見えなかった架空数が明らかになりました。これにより、方程式の解が実数になる場合と架空数になる場合が分かります。先ほどお見せしたグラフは、b=0の平面、つまりXが実数の場合に曲線を描いただけです。しかし、もしもあなたがこのグラフを四次元空間に拡張すると、架空数の倍数がどこにあるのかが分かるでしょう。
